Ο Δημοσθένης Κοκκινίδης, παιδί προσφύγων από την Μικρά Ασία και την Ρωσία, γεννήθηκε στην Δραπετσώνα στις 12 Οκτωβρίου 1929. Από τα μαθητικά του χρόνια εκδήλωσε ενδιαφέρον για την ζωγραφική. Ύστερα από δύο χρόνια φοίτησης στην ΑΣΟΕΕ (νυν Οικονομικό Πανεπιστήμιο), έκανε το όνειρό του πραγματικότητα, όταν το 1952 έγινε δεκτός στην Ανωτάτη Σχολή Καλών Τεχνών της Αθήνας. Σπούδασε έως το 1958 με δασκάλους τον Σπύρο Παπαλουκά και τον Γιάννη Μόραλη. Τον ίδιο χρόνο παρέμεινε επί δίμηνο στο Άγιο Όρος, όπου μελέτησε τους βυζαντινούς εικονογραφημένους κώδικες.

Στις πρώτες του ατομικές εκθέσεις, στην Ύδρα (1961) και Αθήνα (1964) παρουσίασε μια ζωγραφική με αρκετά αφαιρετικά στοιχεία, με θέματα εμπνευσμένα από τη ζωή στις λαϊκές συνοικίες και τα νησιά. Αμέσως μετά, στράφηκε προς μια σαφέστερα πολιτικοποιημένη θεματολογία, που αντανακλούσε το φορτισμένο κλίμα της εποχής. Στα έργα αυτής της περιόδου, μερικά από τα οποία εκτέθηκαν πολύ αργότερα, ο κριτικός σχολιασμός των γεγονότων επιτυγχάνεται, όχι με μια ψυχρή ρεαλιστική γραφή, αλλά με βίαιες χρωματικές εντάσεις και εξπρεσιονιστικές παραμορφώσεις.

Από τη δεκαετία του 1980, ο Δημοσθένης Κοκκινίδης εγκατέλειψε τις άμεσες αναφορές στην πολιτική και η ζωγραφική του επικεντρώθηκε σε προσωπικά βιώματα, με κέντρο τη φύση και την ανθρώπινη επικοινωνία. Αργότερα επεκτάθηκε στη διερεύνηση των διαχρονικών στοιχείων που συνδέουν το σήμερα με το μυθικό παρελθόν, με έργα εμπνευσμένα κυρίως από την «Οδύσσεια» (Μυθολογικοί Συνειρμοί).

Υπήρξε ιδρυτικό μέλος της Ομάδας Τέχνης A (1961-1967) και της Oμάδας για την Επικοινωνία και την Εκπαίδευση στην Τέχνη (1976-1981). Το 1976 εξελέγη τακτικός καθηγητής στην ΑΣΚΤ, όπου διετέλεσε πρύτανης και αντιπρύτανης (1979-1982) και δίδαξε έως το 1997.